1: しじみ ★ 2018/09/15(土) 13:40:29.34 ID:CAP_USER
 慶應義塾大学大学院理工学研究科 KiPAS 数論幾何グループの平川義之輔(博士課程 3 年)と松村英樹(博士課程 2 年)は、『辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が(相似を除いて)たった 1 組しかない』という、これまで知られていなかった定理の証明に成功しました。

 線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な「幾何学」的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、辺の長さが全て「整数」となる直角三角形はどのくらいあるか?という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。この流れを汲んで 20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。

 本研究では、数論幾何学における「p 進 Abel 積分論」と「有理点の降下法」を応用することで、冒頭の定理の証明に成功しました。高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果と言えます。

 本研究成果は学術論文「A unique pair of triangles」として、米国の整数論専門誌「Journalof Number Theory」に掲載されることが決まっています(すでに 2018 年 8 月 24 日に article in press として電子版が出版されました)。

 
1.本研究のポイント

・辺の長さが全て整数となる三角形は古代ギリシャ時代からの研究対象だったが、本研究では新たな定理の発見、証明に成功した。
・定理の見た目が初等的であるにも関わらず、その証明には、20 世紀末に開発された比較的新しい数論幾何学の手法が用いられた。
・高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果であると言える。
 

2.研究背景
 線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な幾何学的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、『辺の長さが全て整数となる直角三角形はどのくらいあるか?』という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。同様に、『辺の長さが全て整数となる直角三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組がどのくらいあるか?』という問題なども、おそらく研究されていたと思われます。

 これらの問題は、全て『種数 0 の代数曲線上の有理点集合の決定』(>>1、2)という問題に言い換えることができ、有理一意化と呼ばれる手法により解けることが、少なくとも座標幾何学が誕生した 17 世紀には知られていました。ところが、Fermat 方程式 x^n+y^n = 1 のように、『種数 1 以上の代数曲線上の有理点集合の決定』に帰着される問題には、現代でも統一的な解法が知られておりません。このような難問の解決に動機付けられて、20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。


<原論文情報>
Yoshinosuke Hirakawa and Hideki Matsumura, A unique pair of triangles, Journal of NumberTheory, published online
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X18302269.
doi:10.1016/j.jnt.2018.07.007
https://research-er.jp/articles/view/73675
続く)
2: しじみ ★ 2018/09/15(土) 13:40:45.92 ID:CAP_USER
続き)>>1

3.研究内容・成果
 本研究では、『辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が(相似を除いて)たった 1 組しかない』という、これまで知られていなかった定理の証明に成功しました。以下が、その「たった 1 組」しかない三角形の組です。

証明の過程では、まず問題となる三角形の組を種数 2 の代数曲線でパラメタ付けすることで、元の問題を『特殊な種数 2 の代数曲線上の有理点集合の決定』という別の問題に帰着しました。このような代数曲線上には有理点が有限個しかないことが知られていますが、有理点集合を完全に決定するためにはさらに高度な技術が必要になります。

 そこで、本研究では、p 進 Abel 積分論に基づいた Chabauty-Coleman 法と呼ばれる解析的な手法を用いることで、上記の代数曲線上には有理点が 10 個しかないことを証明しました。こうして得られた 10 個の有理点のうち、8 個は「辺の長さが 0 または負となる潰れた三角形の組」に対応してしまい、残りの 2 個が共に上図の三角形の組に対応します。一方、Chabauty-Coleman 法を実行する際の主な問題点は、代数曲線の Mordell-Weil rank(>>3�と呼ばれる量が種数よりも小さくなければならない、というものです。本研究では、2-降下法(>>4�と呼ばれるコホモロジカルな手法により Mordell-Weil rank が 1 であることを証明することで、この問題点を克服しました。

 本研究で解決した問題そのものは古代ギリシャ時代にも考察されていたのではないかと思われますが、その解決に用いられた Chabauty-Coleman 法と 2-降下法は、共に 1980 年代以降に開発された比較的新しい手法です。このような素朴な問題と洗練された解決手法の対比、そして時代の大きな隔たりを伴う研究成果は、現代数学の美しさを引き立てる貴重な成果であると言えます。

no title


<原論文情報>
Yoshinosuke Hirakawa and Hideki Matsumura, A unique pair of triangles, Journal of NumberTheory, published online
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X18302269.
doi:10.1016/j.jnt.2018.07.007
https://research-er.jp/articles/view/73675
4: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 13:46:09.57 ID:vL9ef7w3
三行で敗退

8: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 13:53:15.45 ID:I502gWdV
先生、さっぱりわかりません

9: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 13:59:20.60 ID:lUKhVtDz
「辺の長さが全て整数になる」にちょっと引っかかるね。
「辺の長さの比が整数になる」くらいにしてくれんかな。
簡単に表現するのが難しいのは分かるけど。

ところで、その組の一例くらい見せてくれてもいいのに。

15: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 14:12:41.90 ID:KR9+gOpX
>>9同感

33: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 15:06:44.87 ID:2ycUyyoa
>>9
つ no title

11: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 14:08:26.84 ID:rK+uP5kz
珍しく多少話しがつうじる数学だな

たいていは1行目からわけわからんのだが

14: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 14:12:04.55 ID:ErDHUjhB
ヒロシくんがリンゴを3個まで読んだ

16: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 14:22:12.88 ID:ggXHMXaF
これまで知られていなかったのに「定理」って、なんだい?

108: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 21:36:10.56 ID:7uXX0sbY
>>16
絶対的に正しいと証明されてるもののことを「定理」って呼ぶので、
知られてるかどうかは関係無い。

まぁ数学の概念だよ。
物理学とか天文学みたいに自然科学の場合はまず使わない。

28: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 14:39:10.94 ID:VaznPf4N
イマイチ凄みが伝わらないのでガンダムで例えてくれ

29: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 14:39:29.69 ID:B1osxZJR
まぁ正直個人が趣味でやるレベルのどうでもよさではあるよなw
でも古代ギリシア時代から研究されてるってロマンがあるだろ
ロマンは必要だよ

30: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 14:43:30.64 ID:kU4vyhPn
なまじ 3, 4, 5 が直角三角形になっちゃっうのが諸悪の根源
おかげで2000年以上も三角形をいじくりまわすはめになった

171: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/16(日) 12:56:32.61 ID:wigb2ENm
>>30
ほんこれ

31: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 14:48:39.14 ID:cKkviJBl
さっぱりわからん
  

32: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 15:01:59.61 ID:T7AJy9zu
>>1を読めない人間が多すぎるだろw
整数の直角三角形と整数の二等辺三角形の組で
相似形を除けば、周りの長さと面積が両方一致する組が一つしかないことを証明したんだろ
その組が>>1の画像で示されてるのに、1つしかないなら例を出せという輩までいるしw

34: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 15:10:49.07 ID:F7Cd9cKC
こういうのを博士課程の学生が発表するのがすごいな

37: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 15:15:44.77 ID:rchFHhGu
数学全然わかんないんだけど
全部を倍数にしたら同じものが出来上がるんじゃないの?

40: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 15:18:13.88 ID:B1osxZJR
>>37
それは相似形で
相似形は除くってなってる

38: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 15:17:32.64 ID:iFv0smoj
たった一組しか存在しない
それもどの場合でも

証明むずかしすぎるわ
ようやったな

58: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 16:08:52.62 ID:fBGyefnW
おー
これはうれしいだろうね見つけた人

59: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 16:08:55.74 ID:+tBtPqVg
整数論って定理自体は誰でも分かるほどシンプルだけど、
証明は細心の知見でも難しかったり、そもそも不可能かもしれない、
みたいな問題がごろごろしてるよね。
入力に応じて判定がチューリングマシンになるので真も偽も証明不能みたいな問題が実はあるんじゃないかと思う。

62: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 16:19:38.13 ID:9gY5KLGe
古代ギリシアの人間はこの問題を考察していたのに、なぜ証明できなかった?
なぜ現代になって証明できた?

わかりやすく教えて

65: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 16:30:11.32 ID:3O2O2syW
>>62
現代は証明されて使える定理やアイデアがたくさんあるから、それを使って必要な部分だけ新しく証明すればいい


古代ギリシャの人が一からそれをやると、きっと寿命が1万年ぐらい必要
だから証明済みの定理は貴重な人類の資産

63: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 16:26:47.48 ID:pHZgltf6
唯一のペアがどっちも中途半端な三角形組で良かったな
下手に神秘的な三角形だったらこの人達の人生狂わせかねん

188: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/16(日) 21:04:23.52 ID:RziafNjJ
>>63
そうですね。
神秘的な定理を発見した人は、宝くじ以上の
確率で出会ったってこと思うと、発見よりも
偶然見つけてしまった可能性もあり得ますね。

66: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 16:42:38.44 ID:XIaLFFU4
凄いんだろうけど、この定理は何かに応用できたりするのかね

69: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 16:55:06.03 ID:ymsXnCmO
>>66
分かりやすい問題に適用できる例のなかった理論を、分かりやすいな問題に適用できましたという例

81: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 18:31:02.73 ID:kziK8XA2
抽象現代数学を駆使、って、
そんな大袈裟な命題に見えないんだけどな。

83: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 18:36:34.28 ID:F0J5AsNq
>>81
フェルマーの問題も大袈裟には見えなかったが20世紀終わりに現代数学を駆使して
やっと証明できた

104: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/15(土) 20:54:52.81 ID:i+GQ9zU7
 
ふ~ん
135:352と132:360の一組だけか
豆知識として憶えておこう

131: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/16(日) 00:30:41.94 ID:k+vtaoeG
>>104
数分で忘れるやつ

272: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/19(水) 19:14:53.35 ID:pbQNP6/L

285: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/20(木) 03:20:08.45 ID:Zaxqpjsl
>>1 >>272
ああ、なるほど
数論を使わなくても別の方法で解があったのか

別の方法で証明したことだから、もちろん元の証明が毀損したとかそういうものではないけれど




しかしネットと暗黙知はすごいな
知ることは難しいけど次に知りたいのは、

記名サイトだけでも見つけられたのか?
ハンドルネームサイトだけでも見つけられたのか?
匿名サイトでないと見つからなかったのか?

良し悪しを超えてネットの匿名性には明らかに知を進める力がある

286: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/20(木) 03:27:41.25 ID:Zaxqpjsl
>>1 >>272 >>285
IBMの2004年の出題はこれ、この時点で解が唯一であるかどうかを出題者自身は知らなかった
解いた2人はすごい

https://www.research.ibm.com/haifa/ponderthis/challenges/February2004.html

287: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/20(木) 03:50:44.49 ID:Zaxqpjsl
>>1
2004年にこの問題>>286を解いたのはこの人

ルーマニア人で、ルーマニア国有鉄道、エリクソンを経て今はIBMの研究者になってる
やっぱり数学関係者かな
http://www.primepuzzles.net/thepuzzlers/Dima.htm

324: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/20(木) 23:12:55.04 ID:zb6hExqe
既に解かれてたのは調査できなかったのだろうが、同じ問題を別の方法で解く論文は多いから、その点は何も問題ない

中学校の期末試験でもよくあるし、数学界でもけっこう多い



汎用性が高くなるのか、筋道が初等的で誰でも分かるのかは場合による

つるかめ算は頭と足が異なる2種類の動物にしか適用できないが、簡単に説明できる

n変数の線型一次方程式で、逆行列を求めて解く方法には汎用性があるが道具の修練が必要

309: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/20(木) 20:31:07.04 ID:jlMryx73
別に全部は吹っ飛ばないよ。吹っ飛ぶのは一部。
別の証明はちゃんと価値がある。

141: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/16(日) 02:57:27.06 ID:jmp6F5zO
すげーな
宇宙の果てでも三角形はこれしかないってことか

143: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/16(日) 05:57:01.92 ID:sjtet/Gx
>>141
宇宙の有無にかかわらずこの定理は不動
非ユークリッド幾何学持ち出すのはなしな

144: ニュースソース検討中@自治議論スレ 2018/09/16(日) 06:22:49.23 ID:LtRu6a50
こういうの、いいなあ
数学ってこれだろう、と思うよ


転載元:https://egg.5ch.net/test/read.cgi/scienceplus/1536986429/
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